Hogeschool van Amsterdam

Wiskundegrafieken leren met interactive virtual math: deel 2

Door Barbara Kunst, Daan van Smaalen, Jasmijn Vosbergen, Lidy Wesker, Peter Lanser, Sonia Palha, Susan Hollander
Gepost op: 15 mei 2020 | ICT Services

Deze blog is het tweede in een tweeluik over het Grassroots project 'Leren van grafieken bij wiskunde met een computerapplicatie: Interactive Virtual Math (IVM)'. In dit project werd binnen een team docenten van het VO en HO lesmateriaal ontwikkeld en daarmee werd geëxperimenteerd in de klas.

Het project liep van april 2019 t/m maart 2020 en volgde vier fases:

  • Fase 1 (voorbereiding) met focus op het technisch uitbreiden van de digitale tool.
  • Fase 2 (exploreren), waarin het docententeam kennismaakt met de applicatie.
  • Fase 3 (ontwikkelen - uitproberen - delen), waarin het team de ontwerpcyclus twee keer doorloopt.
  • Fase 4 (evaluatie en disseminatie), waarin het team terugblikt op het project en dit deelt met collega's en werkveld.

De eerste blog ging over de eerste twee fases. In deze tweede blog gaan we in op de derde en vierde fase.

Aanpak: co-ontwerpen en gezamenlijk lessen observeren

De derde fase (ontwikkelen - uitproberen - delen) is eind augustus 2019 van start gegaan. Bij het ontwerpen van het lesmateriaal hebben we gebruikt gemaakt van het ontwerpmodel ADDIE (figuur 1). Aan het ADDIE-model hebben we een element expliciet toegevoegd: Share. . Het delen doe je vanaf het eerste begin op het moment dat je een idee hebt, een plan maakt en activiteit ontwikkelt en uitvoert en die evalueert. Het ontwerpproces werd gezamenlijk gedaan. Door gezamenlijk te ontwerpen en het observeren van een les, delen we ook de context waarin het leren plaatsvindt. Op deze manier kunnen we makkelijker elkaars ervaringen en uitspraken plaatsen, verschillende perspectieven en expertises benutten en elkaar leren kennen. Deze aanpak heeft bepaalde overeenkomsten met Lesson study, zoals de focus op het leren van de leerlingen en het gezamenlijk bijwonen van een les.

Figuur 1

Figuur 1: ADDIE -Share (zelf-aangepaste versie van ADDIE)

In het vervolg van deze blog vertellen we hoe we met de app hebben geëxperimenteerd, zowel in VO als in het HO en ook hoe het co-ontwerpproces is verlopen. In totaal hebben we de ontwerpcyclus drie keer doorlopen: twee keer in het VO bij twee klassen 4 havo op verschillende scholen. En één keer in het HO bij vakdidactiek wiskunde van de masteropleiding.

Ontwerpcyclus 1: pilot IVM in 4 Havo

1. Analyse

Het doel van de les is inzicht krijgen hoe leerlingen grafieken tekenen en redeneren met behulp van de IVM-app. We hebben een aantal criteria voor de les vastgelegd:

  • De IVM-app wordt door de leerlingen zelfstandig gebruikt;
  • De app inclusief opdrachten en interactie in de les betrekt de leerlingen bij actief leren en een bepaald soort redeneren (covariational reasoning);
  • De app en de opdrachten zijn gericht op het zichtbaar maken van het redeneren van de leerlingen; bijvoorbeeld door vragen te stellen, groepswerk en klassengesprekken;
  • De voorkennis en perceptie van de leerlingen met betrekking tot de context van de opdracht en het tekenen van grafieken wordt opgehaald en in kaart gebracht.

We hebben om verschillende redenen gekozen om een les te ontwerpen voor havo 4 wiskunde A. Uit eerder onderzoek met de IVM-app kwam naar voren dat deze groep de meeste moeite had met grafieken tekenen en de feedback van de app te gebruiken. Ook is de voorkennis bij deze groep leerlingen naar verwachting meer gevarieerd dan bij vwo of havo b, waardoor we een rijker beeld kunnen krijgen van hoe leerlingen leren met de app. Daarnaast hebben twee leden uit de docententeam havo 4 A-klassen.

2. Co-design

In één lange ontwerpsessie maakte het hele docententeam een algemene opzet voor de les voor IVM. De les had oorspronkelijk vijf onderdelen: voorkennis ophalen, contexten verkennen met VR (Virtual Reality), oefenreeks met de app en verdiepende opdrachten, reflectie in kleine groepen, afsluiting. Het VR-onderdeel werkte nog niet naar behoren en we hebben dus dat onderdeel laten vallen. Leerlingen werken eerst individueel en vervolgens in kleine groepjes. De groepsopdrachten waren bedoeld om leerlingen te stimuleren om hun denkwijze uit te leggen en te redeneren.

3. Development (ontwikkelen)

In een reeks van korte ontwerpsessies zijn drie werkbladen ontwikkeld en is de app aangepast door drie teamleden. We hebben een leerlingenquête ontwikkeld en een observatie formulier gemaakt. We hebben ook geprobeerd te anticiperen op hoe leerlingen aan het werk zouden gaan met de opdrachten. Hiervoor zijn een aantal voorbeelden gebruikt uit eerdere experimenten met de IVM-app. Ook voorbeelden van bepaalde soorten redeneren (covariational reasoning) die we misschien gingen tegenkomen.

4. Implement (uitproberen)

De les is uitgeprobeerd in oktober 2019 in een 4 havo met 15 leerlingen. De les duurde 50 min en is geobserveerd door het hele docententeam op één docent na. Elke docent zat met een groep leerlingen zodat hij/zij het redeneren van de leerlingen in interactie met de app en tijdens het groepswerk kon observeren. Leerlingwerk op de werkbladen en binnen de app zijn verzameld en er is een korte enquête afgenomen bij de leerlingen over hun ervaringen. De nabespreking binnen het ontwerpteam vond meteen na de les plaats. Verder is een groep leerlingen met video opgenomen zodat we inzicht kregen in het leerproces tijdens het groepswerk.

Lesmateriaal (observatie en analyse leerlingenwerk)

De voorkennis ophalen (werkblad 1) heeft de docent in de les daarvoor gedaan. De docent gaf aan het begin van de les de leerdoelen. De tablets (i-pads) zijn uitgedeeld; elke leerling had zijn eigen apparaat. Leerlingen gingen individueel aan de slag met de app.
Het werken met de app duurde 20 min maar veel leerlingen waren na 10 minuten al klaar. Leerlingen die snel klaar waren konden werkblad 2 bij de docent ophalen. Bij dit werkblad was de eerste opdracht onduidelijk voor een aantal leerlingen, maar de rest van de opdrachten ging goed. Nadat alle leerlingen klaar waren met de app is werkblad 3 (reflectie in kleine groepen) uitgedeeld. Leerlingen werken samen in groepjes van 3-5 leerlingen aan de opdrachten. De observanten zitten verdeeld over de groepen en merkten op dat er weinig geredeneerd werd.

Leerlingen grafieken (analyse leerlingenwerk)

In werkblad 1 (voorkennis) hebben slechts zes van de vijftien leerlingen de grafiek met de juiste vorm getekend. Na het werken met de app konden meer leerlingen de grafiek juist tekeneden.

Interactie met de app (observatie en analyse leerlingenwerk)

Alle leerlingen op één na hebben goed gewerkt met de app. Ze hebben de grafieken getekend en verbeterd. In figuur 2 is een voorbeeld van een leerling die een foute grafiek had getekend in werkblad 1 (voorkennis) en de grafiek heeft verbeterd met de app.

Figuur 2

Figuur 2: voorbeeld leerling antwoord voorkennis (links) en verbeterd met de app (rechts)

Leerlingen die een foute grafiek tekenden, kregen animatie 2 (schuif de punten) te zien (figuur 3). De leerling probeert in te schatten hoe hoogt de punt komt bij een bepaalde hoeveelheid water. Bij de observaties konden we niet goed zien in hoeverre deze animatie geholpen heeft.

Figuur 3: voorbeeld interactie met animatie 2

Bij de vaas-feedback kregen de leerlingen de vorm van de vaas te zien die bij de eigen gemaakt grafiek hoort. De leerlingen kunnen dan de grafiek aanpassen en meteen zien hoe de vorm van de vaas verandert (figuur 4).

Figuur 4

Figuur 4: voorbeeld leerling antwoord bij de vaas-feedback

Tijdens de pilot zijn we een aantal technische problemen tegengekomen. Het schrijven van tekst in de app deed het niet. Als oplossing heeft de docent gevraagd om de tekst op papier te zetten. Ook reageerde de app te snel op aanraking waardoor de getekende grafiek opnieuw getekend moest worden. Dat was vervelend. Leerlingen kregen ook af een toe een streepje in hun grafiek te zien bij de vaas-feedback.

Leerlingervaringen (leerlingen enquête)

Bijna alle leerlingen gaven aan dat ze met de app hebben geleerd; leerlingen vonden de app interessant, leuk, geschikt om mee te oefenen, het geeft je een beeld en helpt stap voor stap, duidelijk uitgelegd. Een leerling schreef:
"Ik vond het wel iets behulpzamer dan als je het vanuit een boek moet doen want het geeft je een beeld en helpt stap voor stap"
Leuk, toch? Verder gaven leerlingen aan dat ze weinig hulp nodig hadden om zelfstandig met de app te kunnen werken.

5. Evaluate (evalueren en aanbevelingen)

Het was een geslaagde les, maar er zijn veel dingen die we kunnen verbeteren. Bij de nabespreking merken de docenten op dat leerlingen betrokken waren bij de app en de opdrachten maar dat ze de app te oppervlakkig hebben gebruikt. IVM kan een rol spelen in het abstraheren van representaties omdat leerlingen kunnen interacteren met abstracte beelden; alleen merkten de observanten dat deze interactie niet zichtbaar was. De leerlinguitspraken en uitleg hadden weinig diepgang en er werd weinig geredeneerd. Leerlingen hadden het niet over relaties en hoeveelheden maar over de vorm van de vaas. Bij de opdrachten in kleine groepen hebben de docenten moeten helpen om de gesprekken op gang te krijgen.
De conclusie was dat het oefenen van redeneren met hoeveelheden meer expliciet aandacht in de les zou moeten krijgen: in de lesmaterialen door werkbladen 2 en 3 aan te passen maar ook in de communicatie met de leerlingen (aan het begin, aan het eind en tijdens de les). Dit werd een belangrijk verbeteringspunt voor het herontwerpen van de les.

Ook een praktisch (maar niet belangrijker) punt om mee te nemen voor de volgende keer: meer tijd nemen als ontwerpteam voor de nabespreking van de les en dit gesprek in twee delen verdelen. Eerst alleen discussiëren over de ervaringen en het leren van leerlingen op basis van de verzamelde gegevens en onze observaties. Pas daarna praten over het onderwijs en de ontwerp-kant. Op deze manier zorgen we dat we niet te snel in de oplossings-modus schieten!

Ontwerpcyclus 2: experiment met IVM in 4 Havo

1. Analyse

De resultaten van het eerste experiment gaven inzicht in hoe leerlingen met het lesmateriaal werken. Door deze bril hebben we gekeken naar de groep leerlingen die aan het tweede experiment zouden deelnemen. De voorkennis van deze klas was anders, want ze hadden nog niets geleerd over toenamendiagrammen. Daarom verwachtten we dat de leerlingen redeneer-termen zoals 'afnemend stijgend' of ‘toenemend stijgend' niet zouden gebruiken. De klas was groter (20 leerlingen) en volgens de docent meer onrustig. De les was ook langer (100 min ipv 50 min).

2. Design (ontwerpen)

Omdat we tevreden waren met de lesopzet van het eerste experiment hebben we dezelfde lesopzet aangehouden bij het re-design (herontwerpen) van de les. Nieuw daarin was de focus op het redeneren. Dit zou vanaf het begin van de les gebeuren. Zo is afgesproken dat aan het begin en aan het einde van de les een klassengesprek zou plaatsvinden rond 'wiskundig redeneren'. En dat de opdrachten in het reflectie onderdeel (werkblad 3) het 'covariatie redeneren' zou uitlokken. Deze afspraken zijn gemaakt tijdens één ontwerpsessie.

3. Development (ontwikkelen)

Werkblad 2 (verdieping) en werkblad 3 (reflectie in kleine groepen) zijn volgens de afgesproken richtlijnen aangepast. Werkblad 1 (voorkennis) is hetzelfde gebleven. De oefenserie in de IVM-app is ook dezelfde gebleven.

4. Implement (uitproberen in de klas)

De les is uitgeprobeerd eind november in een 4 havo met 20 leerlingen. De les duurde 100 min en is geobserveerd door drie docenten uit docententeam. Zoals bij de pilot gebeurde, zijn leerlingwerk en ervaringen verzameld.

Lesmateriaal (observatie en analyse leerlingenwerk)

De voorkennis ophalen heeft de docent aan het begin van de les gedaan. De tablets (i-pads) zijn uitgedeeld; elke leerling had zijn eigen apparaat. Leerlingen gingen individueel aan de slag met de app. Leerlingen die snel klaar waren konden werkblad 2 bij de docent ophalen. De opdrachten zijn redelijk goed gemaakt. Daarna is werkblad 3 (reflectie in kleine groepen) uitgedeeld. Leerlingen losten eerst individueel de opdrachten op en vervolgens in groepjes van 3-5 leerlingen. De docent sluit de les af met een klassengesprek over werkblad 3.

Leerling grafieken

De leerlingen in deze klas hadden meer moeite met het maken van de juiste grafiek. Zo hebben slechts 4 van de 20 leerlingen een acceptabele grafiek getekend op werkblad 1. Zoals bij de andere klas, hebben de leerlingen met de app hun grafiek kunnen verbeteren. Twaalf leerlingen hadden een acceptabele grafiek gemaakt en andere leerlingen hebben hun grafiek verbeterd.

Interactie met de app en Leerlingenervaringen

De interactie met de app verliep vergelijkbaar met de andere 4havo. Het probleem met het invullen van de tekst is opgelost. Leerlingen kunnen schrijven in de app. Maar in de praktijk blijkt dat het onhandig is omdat de letters in de tablet heel klein zijn.

De ervaringen van de leerlingen zijn minder positief dan in de vorige klas. Dit komt gedeeltelijk door het schrijven met de tablet; dat ging steeds mis.

5. Evaluate

Een aandachtspunt van het herontwerp was het meer expliciet maken van het oefenen van redeneren met hoeveelheden, aan het begin, einde en tijdens de les. En dit is gebeurd.

Ontwerpcyclus 3: IVM verkennen bij vakdidactiek master leraar wiskunde

1. Analyse

Studenten van de master zijn zelf leraren in het VO. Ze hebben voldoende kennis om de opdrachten in de app te maken.

2. Design

We hebben een viertal activiteiten bedacht die in twee lessen van vakdidactiek zouden kunnen plaatsvinden:

  • In de eerste les doet de student ervaring op met de app vanuit een leerling-perspectief. Zoals in het VO kan het interessant zijn om werkblad 1 (voorkennis) ook bij de studenten af te nemen. De studenten gaan dan met de app aan de slag. Op basis van eerdere ervaringen met de app verwachten we dat een aantal studenten voorstellen hebben over het tekenen van de juiste grafiek.
  • De verschillende grafieken en redeneringen worden dan in kleine groepjes besproken. Leidende vragen voor het gesprek zijn: hoe heb je de app ervaren? Wat heb je daarvan geleerd? Welke app onderdelen vond je het meeste waardevol en waarom? Daarna wordt een aantal leerlingenantwoorden (verzameld uit de VO-lessen) bij de groepen uitgedeeld en de studenten wordt gevraagd om die op volgorde te zetten en uit te leggen waarom.
  • Voor de tweede les worden studenten gevraagd om met eigen leerlingen de app uit te proberen. Ze hebben inmiddels voorbeelden gezien en bepaalde leer-verwachting gekregen over hoe de leerlingen gaan leren met de app. Doordat ze met de app gaan experimenteren kunnen ze deze vermoedens testen. Hiervoor is essentieel dat studenten ook leerlingenwerk en ervaringen van eigen leerlingen verzamelen. Ze kunnen bijvoorbeeld werkblad 1 en de leerlingen-enquête gebruiken, maar ook de auteursomgeving van de app (als ze een account hebben).
  • In de tweede les brengen studenten dit allemaal naar de les. De voorbeelden worden in kleine groepen geanalyseerd en de studenten wisselen hun ervaringen uit. De focus ligt op het denken van de leerlingen. Voorbeelden van onderwerpen die in de groepen besproken kunnen worden: wat zijn leerling pre-concepties, concepties en misconcepties met betrekking tot het leren van grafieken bij dynamische contexten? Wat zijn kenmerken van begripsontwikkeling in leerlingenwerk (grafieken, uitleg)? Wat is hier de meerwaarde van ICT voor het leren van grafieken? Voor dit onderdeel geven we van tevoren theorie over het leren van grafieken (zie literatuur onderin).

3. Development

De les is verder uitgewerkt door de teamleden die vakdidactiek geven.

4. Implement

Tien studenten van de opleiding master leraar wiskunde hebben met de IVM-app gewerkt tijdens vakdidactiek 1. Het college werd online gegeven met Virtual Classroom (VC). De studenten hebben gemiddeld 15 minuten genomen om door de app te gaan. De ervaringen van de studenten met de app en wat ze daarvan vonden zijn via de chat van VC met de groep gedeeld tijdens de les. Namelijk:

  • De studenten vonden dat de app meer inzicht gaf in het leren van grafieken. Een student geeft aan: "meer inzicht, hoe een grafiek verloopt".
  • En inzicht in de relatie tussen de context situatie en de wiskundige representatie (grafiek). Een student vertelt: "Als leerling leer je een hoogte t.o.v. hoeveelheid water. Wellicht een hoogte tijd grafiek die hoort bij deze situatie. Hoe we met wiskunde representeren wat er in het echte leven gebeurt".
  • Studenten merkten ook op het interactieve aspect van de app voor het leerproces. Een student vertelt: "je ziet direct of je een fout maakt, geeft inzicht".
  • Sommige studenten beschrijven het leren met de app vanaf het oogpunt van de leerlingen (vanaf hun perspectief als wiskundeleraren en niet als lerende). Zo beschrijft een student: "Leerlingen leren van deze app om iets wat ze zien gebeuren om te zetten tot een lijn: waar moet deze stijgen of juist dalen en hoe hard stijgen of dalen".

De studenten werden ook gevraagd om aan te geven welke onderdelen van de IVM-app meer bijdragen aan het leren van de grafieken.

  • De studenten benoemen de animatie 2 (schuif de punten). Zo vertel een student: "vooral de opgave dat je met de schuifjes de hoogte mag aangeven".
  • Een andere student benoemde de vaas-feedback. De student vertelt: "naast al het bovenstaande vond ik de feedback in de vorm van de vaas leuk om te zien. Zo van "gebaseerd op jouw grafiek zou dit de vaas zijn geweest".

Evalueren van het project

Een eerste opbrengst van dit project was meer inzicht te krijgen in hoe leerlingen de app gebruiken, samen met het lesmateriaal, bij het leren van grafieken. We hebben gezien dat in beide klassen de app leerlingen heeft geholpen om de grafiek te verbeteren, maar het is onduidelijk hoe ze bepaalde onderdelen gebruiken. Hier zouden we in een vervolg project onderzoek moeten doen.

Een tweede opbrengst van dit project zou kunnen zijn: lesmateriaal voor wiskundedidactiek voor de HvA-opleidingen Leraar wiskunde van de bachelor en de master. We hadden graag gewild om voorbeelden van HO-lessen (vakdidactiek) te ontwikkelen, waarbij het onderwerp covariational en variational reasoning behandeld zou worden met behulp van de IVM-app. We hebben een aantal richtlijnen opgezet voor het lesmateriaal en de lessen zouden in maart 2020 uitgeprobeerd kunnen worden. Echter met de COIV-19 uitbraak zijn we daar niet aan toegekomen. We hebben alleen een kleine verkenning met de app gemaakt in één klas vakdidactiek 1 van de masters. In de toekomst willen we onze aanpak verder uitbreiden binnen de masters maar ook bij de bachelors.

Op basis van deze leeropbrengsten en de ervaringen van leerlingen en de docenten, kunnen we concluderen dat het project geslaagd is. We hebben niet alles kunnen doen wat we wilden en er zijn twee belangrijke activiteiten die we nog willen doen: het uitproberen van het VR-onderdeel en het verder ontwikkelen van de HO-lessen. Hopelijk kunnen we dit in een vervolgproject doen! Maar, er zijn ook belangrijke ervaringen opgedaan binnen het docententeam en de leerlingen hebben iets anders geleerd over grafieken en redeneren met grafieken. Een onderwerp dat weinig aandacht heeft in het VO.
Daarnaast hebben de leerlingen met de applicatie kunnen oefenen op eigen niveau. Door het gezamenlijk bespreken van de opdrachten in groepen en ook in een klassengesprek hebben de leerlingen hun concept ‘beeld van dynamische grafieken’ verrijkt. De deelnemende docenten hebben meer inzicht gekregen in leerling-concepties en -misconcepties over grafieken. Bovendien namen de docenten deel aan de nabespreking van de lessen, waarbij werd gereflecteerd op de leerdoelen en de les-elementen die bijdragen aan het leren van de leerlingen.

Aanbevelingen voor de praktijk

De lesopzet werkt goed en je kunt dit rechtstreeks gebruiken met 4havo maar ook met andere klassen. Het lesmateriaal is geschikt voor 3hv t/m 5hv.

Op basis van onze ervaringen geven we een aantal tips zowel voor het VO als HO:

  • Gebruik de app in de les met de studenten ipv huiswerk; dan heb je beter zicht op de manier waarmee ze de app gebruiken. Ook zijn er altijd studenten die vastlopen. Die kun je makkelijk helpen in de les;
  • Richt de discussie op het redeneren en niet alleen op de vorm van de grafieken. Vermijd de termen goed en fout bij grafieken of redeneringen. Probeer aan te geven wat kenmerken zijn van begripsontwikkeling;
  • Benadruk de relatie tussen de opdrachten en de app. Bijvoorbeeld in de app kunnen leerlingen /studenten de maat van de baker variëren. Deze interactie met de app zou het denken over variabelen en het oplossen van de opdrachten in werkblad 3 kunnen verhelpen;
  • Daag de leerlingen (of studenten) uit om te denken over de relatie tussen de verbale uitleg en de vorm van de grafiek.

Voor vakdidactiek in het HO raden we vakdidactici aan om een viertal activiteiten te maken zoals we hebben gedaan. Het werkt goed en we krijgen zelf inzicht over de kennis en vaardigheid van onze studenten met betrekking tot het leren van grafieken en redeneren.

Belangrijke tips:

  • Laat de student eerst zelf ervaring opdoen met de app vanuit een leerling-perspectief;
  • Daag je studenten uit om te experimenteren met hun eigen leerlingen en data te verzamelen;
  • Gebruik dit als een gelegenheid om scherper te krijgen wat wiskundige denkactiviteiten zijn.

Tenslotte

De app wordt ook verder ontwikkeld zodat deze meer oefen- en exploratieve mogelijkheden kan bieden voor leerlingen en studenten. Onze oorspronkelijke ontwerp-onderzoeksvragen blijven nog steeds van kracht:

  • Hoe kan Interactive Virtual Math het leren van abstracte wiskunde grafieken ondersteunen?
  • Wat zijn goede voorbeelden van didactische aanwijzingen en lesmaterialen hierbij?

Het project Grassroots heeft een heel waardevolle input gegeven aan de ontwikkeling van IVM. Door de technische ontwikkeling van de applicatie mogelijk te maken en de gelegenheid voor ons docententeam om bezig te zijn met wiskundeonderwijs op een innovatieve en inspirerende manier!

Projectsite van de app en lesmaterialen

De applicatie, informatie over zijn ontwikkeling, het team en lesmaterialen vind je op de site: https://app.dwo.nl/ivm/start/. Daarnaast is een auteursomgeving ontwikkeld voor IVM samen met Numworx, zie: https://www.numworx.nl/.

Hierdoor wordt het mogelijk voor leraren om zelf digitaal lesmateriaal met de app-onderdelen te maken en inzicht te krijgen in het leerproces van hun leerlingen (data analytics). De app is toegankelijk voor iedereen. Leerlingen kunnen met de app werken; alleen heb je een account nodig als je de antwoorden wilt bewaren. Ook leraren die de app met hun klassen willen gebruiken hebben een account nodig om dit te doen. Neem contact op met de projectleider (s.abrantes.garcez.palha@hva.nl) voor een account.

Meer lezen over dit onderwerp?

  • Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S., & Hsu, E. (2002). Applying covariational reasoning while modeling dynamic events: A framework and a study. Journal for Research in Mathematics Education, 352-378.
  • Carlson, M., Oehrtman, M., & Engelke, N. (2010). The precalculus concept assessment: A tool for assessing students’ reasoning abilities and understandings. Cognition and Instruction, 28(2), 113-145.
  • Johnson, H. L., McClintock, E., Kalir, J., & Olson, G. (2018, January). Networking theories to design dynamic covariation techtivities for college algebra students. In Proceedings of the 21st Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education.
  • Johnson, H. L., McClintock, E., & Hornbein, P. (2017). Ferris wheels and filling bottles: A case of a student’s transfer of covariational reasoning across tasks with different backgrounds and features. ZDM, 49(6), 851-864.
  • Johnson, H. L. (2015). Together yet separate: Students’ associating amounts of change in quantities involved in rate of change. Educational Studies in Mathematics, 89(1), 89-110.
  • Thompson, P. W., & Carlson, M. P. (2017). Variation, covariation, and functions: Foundational ways of thinking mathematically. Compendium for research in mathematics education, 421-456.